Halaman
Persamaan Garis LurusStandar KompetensiMemahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurusBab 3
56 Bab. 3 Persamaan Garis Lurus3.1Pengertian Persamaan Garis LurusSisi pada bangunruang berupabidang datar,karena yangmembatasi bagiandalam dan luarbangun ruangadalah bidang.Sedangkan sisipada bangun datarberupa garis,karena yangmembatasi bagiandalam dan bagianIngat !Masih ingatkah kamu tentang fungsi? Jikaf(x) = 2x-3, tentukan f (-2). Pemahaman tentangfungsi diperlukan untuk dapat memahami materipada Bab 3 ini dengan baik.Bak Penampungan AirSebuah rumah mempunyai bak penampungan airyang diletakkan di halaman depan. Pada suatuhari, air dialirkan dari bak penampungan kedalam bak mandi.Hubungan antara volum air yang tertampungdengan waktu alir disajikan dalam tabel disamping.Misal x menyatakan lamanya air mengalir dany menyatakan volum air dalam bak mandi.Relasi apakah yang dapat kita buat dari datatersebut?Perhatikan bahwa pertambahan waktu adalah 1menit (dari mana?), sedangkan pertambahanvolume air adalah 5 liter (dari mana?Sekarang coba perhatikan relasi waktu danvolume air yang dinyatakan oleh diagram panahberikut:012345Apa yang akan kamup el ajari ?Persamaan garis lurusdalam berbagai bentuk danvariabel.Menggambar garis y=mxpada bidang Cartesius.Menggambar garis y=mx + cpada bidang Cartesius.Menentukan persamaangaris jika diberikangrafiknya pada bidangCartesius.Kata Kunci:persamaan garisWaktu alir (x) menit Volum air yang tertampung pada bak mandi (y) liter 0123452712 17 22 27 2 + 0 x 5 7 = 2 + 1 x 5 12 = 7 + 5 = 2 + 2 x 5 17 = 12 + 5 = 2 + 3 x 5 22 = 17 + 5 = 2 + 4 x 5 27 = 22 + 5 = 2 + 5 x 5
Matematika SMP Kelas VIII 5 7Sekarang apabila waktu alirnya adalah x=t menit, berapavolume air (y) liter yang tertampung dalam bak mandi?Selanjutnya coba kamu gambar relasi yang dihasilkan di atasdalam koordinat Cartesius. Apabila titik-titik pada koordinatCartesius kamu hubungkan, apa yang kamu peroleh?Bila air mengalir selama 10 menit, berapakah volum airdalam bak mandi?Bila volum bak mandi 75 liter, berapakah waktu yangdiperlukan untuk mengalirkan air hingga bak mandi penuh?Perhatikan persamaan garis y = 5x + 2 yang kita peroleh diatas. Sekarang tunjukkan dalam koordinat Cartesius untukpersamaan garis tersebut untuk beberapa titik x = -1, 0, 1, 2, 3dan hubungkan menjadi satu garis lurus, seperti gambar dibawah ini.XYHasil yang kamu peroleh pada kegiatan di atas berupa fungsidengan rumus y = 5x + 2. Grafik yang kamu peroleh padakoordinat Cartesius berupa garis lurus. Selanjutnya, apabilakamu menjumpai fungsi dengan bentuk y = ax + b, dalamkoordinat Cartesius berupa garis lurus (coba lakukanpercobaan dengan mengambil beberapa nilai a dan b). Olehkarena itu fungsi dengan bentuk y = ax + b dinamakanpersamaan garis lurus (kenapa?)
58 Bab. 3 Persamaan Garis LurusBerdasarkan pengamatanmu, apakah gambar garis tersebutmemotong sumbu-X dan sumbu-Y pada koordinatCartesius? Kalau memotong, dimana titik potongnya?Titik-titik perpotongan tersebut terjadi pada x = 0 dan y = 0.Sekarang mari kita amati lebih mendetil.Pada x = 0 nilai fungsi y = 5x + 2 adalah y = 5x0 + 2 = 2. Jadititik potong berupa pasangan terurut (0,2).Pada saat y = 0 persamaan fungsi tersebut menjadi0 = 5x + 2.Dapatkah kamu mencari berapa nilai x?Titik potong kedua yang kita peroleh adalah (25,0).Sekarang untuk persamaan garis secara umumy = ax +bdimana titik potong garis tersebut dengan sumbu-X? Titikpotong garis tersebut dengan sumbu-Y?Contoh :Tentukan koordinat titik potong garis dengan persamaan 2y-3x = -6 terhadap sumbu-sumbu koordinat.Jawab :a. Garis akan memotong sumbu-X jika y=0. Maka diperoleh2.(0) - 3x = -6.-3x = -6x = 2Jadi Koordinat titik potong dengan sumbu-X adalah (2,0)b. Garis akan memotong sumbu-Y jika x=0. Maka diperoleh2y= -6.y= -3Jadi Koordinat titik potong dengan sumbu-Y adalah (0,-3)Ingat !Kondisi x = 0, menyebabkan garis y = 5x +2 memotongsumbu y. Seringkali dinamakan perpotongan garis dengansumbu y.Kondisi y = 0, menyebabkangarisy = 5x +2 memotongsumbu x. Seringkali dinamakan perpotongan garis dengansumbu x.
Matematika SMP Kelas VIII 5 9Lama masa tanam (dalam jam) Tinggi Kecambah (mm) 1 2 3 4 1,5 3,0 4,5 6,0 1.Tabel di samping kananmenunjukkan tinggikecambah (dalam mm) danlamanya masa tanam(dalam jam).a.Misal y menyatakantinggi tanaman setelahx jam masa tanam.Bagaimana kamumenyata-kan hubungantinggi tanaman (y)dengan lama masatanam (x) ?b.Gambarlah setiap pasangan titik (x, y) padakoordinat Cartesius.c.Tariklah sebuah garis yang menghubungkanpasangan-pasangan titik tersebut.d.Berapakah tinggi kecambah pada jam ke-9?e.Dalam waktu berapa jam, kecambah akanmempunyai tinggi 10,5 mm?2. Mainan Mobil-mobilanDitya mempunyai mainan mobil-mobilan yangdigerakkan dengan baterei. Mobil-mobilan tersebutberada 5 cm dari tepi ruangan dan bergerak pada lantairuangan dengan kecepatan konstan yaitu 12 cm untuktiap detiknya.a.Rumuskan jarak mobil-mobilan dari tepi ruangansetelah t detik, jika jarak mobil-mobilan dari tepiruangan adalah s.Latihan 3.1
60 Bab. 3 Persamaan Garis Lurusb.Lengkapilah tabel berikutc.Sebutkan dua sumbu yang saling tegak lurus padakoordinat Cartesius yang digunakan untukmenggambarkan masalah di atas!d.Gambarlah masing-masing pasangan titik (t, s)pada koordinat Cartesius.e.Tariklah sebuah garis yang melalui titik-titiktersebut.f.Tentukan koordinat titik potong garis tersebutdengan sumbu s !g.Berapakah jarak mobil-mobilan dari tepi ruangansetelah 4 detik?h.Dalam waktu berapa detik, mobil-mobilan akanberjarak 89 cm dari tepi ruangan?t 12t5 + 12ts (t, s) 0 1 2 3 4 ................ ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .........
Matematika SMP Kelas VIII 6 13.NutrisiPersamaan c = 12f + 180 menjelaskan hubunganantara jumlah lemak f dalam gram dan jumlahkalori c dalam beberapa jenis makanan.a.Carilah titik potong garis tersebut dengansumbu c!b.Gambarlah persamaan garis tersebut.c.Suatu jenis makanan mengandung 30 gramlemak. Berapa jumlah kalori makanantersebut?4.Tentukan titik potong dengan sumbu X, titikpotong dengan sumbu Y dari tiap-tiap garis denganpersamaan berikut.a.10x + 25y = 100.b.21x – 7y = 14.5.Gambarlah tiap-tiap garis dengan persamaanberikut.a.y = -4x + 3.b.x + y = 8.c.3x + 7y = 0.d.y = 6x41.
62 Bab. 3 Persamaan Garis LurusUkuran KemiringanKamu tentu pernah melihat atap rumah. Cobaperhatikan gambar atap rumah di bawah ini.(a) Gambar 3.7 (b) Mengapa atap rumah tersebut dibuat miring?Pada Gambar 3.7, atap rumah manakah yangtampak lebih miring? Gambar 3.7(a) atauGambar 3.7(b)?Masih banyak contoh benda-benda disekelilingmu yang letaknya miring. Cobalahkamu sebutkan benda-benda tersebut.Selanjutnya, kita akan mempelajari caramenentukan kemiringan suatu benda.Pertama-tama, gambar atap rumah (a) di atasdisederhanakan menjadi sebuah segitigaseperti pada Gambar 3.8 di samping.MisalAB : atap bagian kiriCB : atap bagian kananDB : tiang penyangga tegakAC : alas penyangga mendatarMisal titik H dan G pada AB.Apakah kemiringanAB, HB, dan GBsama?Gambar 3.8 CABEFGH642333DAp a ya ng ak a n k a mupelajari?Mengenal pengertian danmenentukan gradienpersamaan garis lurusdalam berbagai bentuk.Menentukan gradien darisuatu garis yang melaluidua buah titik yangdiketahui.Menentukan gradien garis-garis yang saling sejajar.Menentukan gradien garis-garis yang saling tegaklurus.Menentukan koordinat titikpotong dua garis.Kata Kunci:KemiringanUkuran KemiringanGradienSumber : koleksi pribadi3.2Gradien053xyA
Matematika SMP Kelas VIII 6 3Sekarang perhatikan tigamodel atap rumah padaGambar 3.9. Apakahkemiringan AB samadengan kemiringan EF?Jika tidak, manakah yanglebih miring?AJarak datar AD(a)(b)CBPR S QDJarak tegak BD Pada Gambar 3.9(a) dan 3.9(c),tampak bahwa panjang tiangpenyangganya tidak sama,atau DB z HF.DB adalah perbedaan tinggi(jarak tegak) A dan B. HFadalah perbedaan tinggi E danF. Jadi perbedaan tinggi dapatmempengaruhi kemiringan.(c)EFGHGambar 3.9 Selanjutnya perhatikan Gambar 3.9(a) dan 3.9(b). Apakahkemiringan AB sama dengan kemiringan PQ? Jika tidak,manakah yang lebih miring? Mengapa?Panjang tiang penyangga atap pada Gambar 3.9(a) dan 3.9(b)adalah sama atau DB = SQ, tetapi mengapa kemiringan atapberbeda?Jawabnya, karena panjang alas penyangganya tidak samaatau ACzPR. Akibatnya AD z PS. AD adalah perbedaandatar (jarak datar) A dan B. PS adalah perbedaan datar Pdan Q. Ini menunjukkan bahwa kemiringan atap dipengaruhioleh perbedaan datar.Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan suatu bendadipengaruhi oleh perbedaan tinggi dan perbedaan datar.Misal atap pada Gambar 3.9(a) dan 3.9(c) mempunyai panjangalas yang sama, yaitu AC = EG, tetapi kemiringannyaberbeda. Mengapa kemiringannya berbeda?
64 Bab. 3 Persamaan Garis LurusPerhatikan gambar sebelah kiripada gambar 3.8.a.Berapakah perbandinganBD dan AD?b.Berapakah perbandinganFB dan HF?c.Berapakah perbandinganEB dan GE?d.Apa kesimpulan yangkamu peroleh?e.Apakah GEBEHFFBADBD?Apa artinya itu ?ABCDH42F333Bagian kiri Gambar 3.8 GGambar 3.10 E6Nilai perbandingan pada bagian pertama adalah sama, yaitu3:2. Demikian juga nilai perbandingan pada bagian keduaadalah sama, yaitu 3:2. Hal ini sesuai dengan kenyataan bahwakemiringan AB, HB, dan GB adalah sama. Ini menunjukkanbahwa nilai perbandingan di atas dapat dijadikan sebagaiukuran kemiringan suatu benda.Coba selidiki kembali kemiringan AB dan CB pada Gambar3.8 !Apakah ukuran kemiringan AB sama dengan CB? Jelaskan.Untuk selanjutnya, disepakati bahwa ukuran kemiringanbenda adalah sebagai berikut.Soal 1Ukuran Kemiringan =datarPerbedaanbesarnyatinggiPerbedaanbesarnya•Untuk menandai perbedaan arah kemiringan kitaseapkati bahwa jika benda dari kiri ke kanan naik,ukuran kemiringannya bernilai positif.•Sedangkan jika benda dari kiri ke kanan turun, ukurankemiringannya negatif.•Istilah yang digunakan dalam matematika untukmenggambarkan ukuran kemiringan adalah gradien(Jadi istilah ukuran kemiringan (gradien) ada padakehidupan nyata. Contoh, ukuran kemiringan jembatan,kemiringan atap rumah.
Matematika SMP Kelas VIII 6 5Perhatikan kembali Gambar 3.7(a) dan Gambar 3.8.a.Pada gambar 3.7 a. Menurut pendapatmu bagaimanakemiringan atap sebelah kiri dan atap sebelahkanan?b.Apa yang berbeda pada kedua atap itu?c.Bagaimana perbedaan dan kesamaan antarakeduanya?1.Perhatikan gambarjembatan penyeberangandi samping ini. Gambar3.11(b) adalah bagiandari jembatan sebelahkanan yang dilihat dariarah depan. Gambar inidapat diilustrasikanseperti pada Gambar3.11(c). Jika AB = 8 m danBC = 5 m, berapakahkemiringan jembatanpenyeberangan itu?(a)(b)BCGambar 3.11 (c)APerhatikan dua persamaan garis berikuty = 2x + 2 dan y = 5x + 2.Sekarang amati persamaan garis tersebut untuk titik x = 0, 1,2, 3, 4, 5 dengan membuat diagram panah untuk masing-masing persamaan garis.Sekarang bandingkan nilai y untuk masing-masing titik x =0, 1, 2, 3, 4, 5 pada kedua garis, kesimpulan apa yang kamuperoleh?Sumber : koleksi pribadiSumber : koleksi pribadiSoal 2Soal 3GradienB
66 Bab. 3 Persamaan Garis LurusSekarang, kamu gambar persamaan garis pada satu koordinatCartesius yang sama,Dari gambar garis tersebut, mana yang lebih landai?Bagaimana kamu menghitung kelandaian garis tersebut?Percobaan Hitung sebarang selisih pada sumbu xdan selisih yang bersesuaian padasumbu y pada grafik fungsi yang telahdibuat di atas, kemudian buat daftarberikut0x'0y'00yx''Contoh :Perhatikan kembali grafik garis y=5x + 2. Dua titik yangdilaluinya adalah A(2,12) dan B(4,22). Selisih ordinatnya =22-12=10. Selisih absisnya 4-2 = 2Selisih ordinat 10Gradien === 5Selisih absis2Garis dengan persamaan ax + by = c mempunyai gradienabContoh :Garis dengan persamaan 3x-2y=7 mempunyai gradien 32Percobaan
Matematika SMP Kelas VIII 6 7Pesawat TerbangGrafik berikut memodelkanketinggian suatu pesawat dimulaidari saat rodad i k e l u a r k a n(waktu 0 detik) sampai saatpesawat mendarat.500 10000 30 60 90(60,1000) 60 sat. Ke kananWaktu (detik) Ketinggian (kaki)Gambar 3.12 BA500 sat. ke bawah Tentukan sebarang dua titikpada grafik,misal titik-titik tersebut adalah Adan B.Gunakan titik-titik itu untukmencari gradiennya.a.Berapa perbedaan ordinat Adan B?b.Berapa perbedaan absis Adan B?c.Berapa gradien garistersebut?Jelaskan apa arti gradien untukmasalah tersebutJadi dapat disimpulkan seperti berikut.Apa yang kamu temukan terhadap percobaan tersebut?Kamu akan menemukan nilai perbandingan yang sama.Berapa nilai perbandingan untuk persamaan garis y = 2x + 2?Berapa nilai perbandingan untuk persamaan garis y = 5x + 2?Untuk persamaan garis y = ax + b nilai perbandingan yx'' = a. Nilai perbandingan ini selanjutnya disebut gradien garis y. Soal 4xGradien AB = AabsisBabsisAordinatBordinat = 1212xxyyxSama halnya dengan arah kemiringan, jika diperoleh nilai gradien positif berarti arah garis dari kiri ke kanan naik dan jika diperoleh nilai gradien negatif berarti arah garis dari kiri ke kanan turun.
68 Bab. 3 Persamaan Garis LurusX0 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 g -10 -8 -6 -4 -2 8642PQY0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 l8642NXYM1).2).a.Gambarlah pada satu diagram, garis-garis denganpersamaan y = -x, y = x + 2, dan y = -x – 2.b.Apakah ketiga garis itu sejajar?c.Tentukan gradien dari masing-masing garis di atas?a.Gambarlah pada satu diagram, garis-garis denganpersamaan y = -2x, y = 21x , dan y = -2x + 2.b.Apakah garis y = -2x tegak lurus y = 21x? Bagaimanakamu mengetahuinya?c.Apakah garis y = -2x + 2 tegak lurus y = 21 x? Bagaimanakamu mengetahuinya?d.Dengan melihat (a), apa yang dapat kamu simpulkantentang garis-garis dengan persamaan y = -2x dany = -2x + 2? Bagaimana gradien kedua garis tersebut?e.Dengan melihat (b), apa yang dapat kamu simpulkan?Bagaimana gradien dari kedua garis tersebut?f.Dengan melihat (c), apa yang dapat kamu simpulkan?Bagaimana gradien dari kedua garis?a. Diketahui titik-titik A(2,-4) dan B(8,-2), tentukan gradien garis AB.b. Tentukan gradien dari garis pada gambar berikut ini.Soal 5Soal 6Soal 7
Matematika SMP Kelas VIII 6 91.Misalkan grafik dari suatu garis dengan gradien 12menunjukkan hubungan antara ketinggian pesawat danwaktu terbang pada 12 detik pertama. Apa arti gradiendalam situasi ini?2.Jika garis l dan m masing-masing mempunyai gradien43 dan 43, maka bagaimanakah posisi garis l dan garism? (Ukur dengan busur derajat, berapa derajat sudutyang dibentuk pada titik potongnya!)3.Jika sudut kemiringan suatu jalan 450, berapakah gradiendari jalan tersebut?4.Berpikir Kritis. Apa yang akan Anda alami jika berjalanmelalui jalan yang gradiennya cukup besar? Dimanalebih cepat lelah berjalan pada jalan yang datar yanggradiennya nol atau berjalan pada jalan yang gradiennyalebih dari nol?5.a.Gambarlah dua garis yang sejajar dengan sumbu-X.b.Hitung gradien dari masing-masing garis tersebut.c.Apakah gradien kedua garis tersebut sama atauberbeda?d.Berapa gradien garis yang sejajar dengan sumbu-Y.0 1 2 800 600 400 200 Jam (liter) 6.Grafik di samping menunjukkanhubungan antara waktu dan banyaknyaair yang mengalir dari satu kran air. Jikakita memerlukan air 2000 liter dalamwaktu 2 jam, berapa buah kran yangharus dibuka?7.Carilah gradien dari garis yang melalui setiap pasangantitik berikut.a.(-8,0) dan (1,5)b.(21, 8) dan (1,-2)c.(8,3) dan (4,3)d.(4,-1) dan (4,7)e.(9,-2) dan (3,4)Latihan 3.2
70 Bab. 3 Persamaan Garis Lurus8.Berapakah gradien dari garis berikut.0 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 n -10 -8 -6 -4 -2 8642XY0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 m8642XY9.Apakah pernyataan berikut “benar” atau “salah”?Jelaskan!“Semua garis horisontal mempunyai gradien yangsama”.10. Apakah setiap tiga titik berikut terletak pada satu garisatau tidak? Jelaskan!a.A(3,5), B(-1,3), C(7,7)b.L(6,4), M(3,2), N(0,0)c.P(4,1), Q(-1,5), R(1,2)11. Seorang anak menyatakan bahwa gradien garis yangmelalui titik (1,7) dan (3,9) sama dengan 3791. Apakahini benar? Jelaskan!
Matematika SMP Kelas VIII 7 1Pada materi sebelumnya telah dijelaskan caramenentukan gradien suatu garis denganmenggunakan koordinat, yaitu dengan caramemilih dua titik sebarang pada garis tersebutmisalkan titik A(x1, y1) dan B(x2, y2).Selanjutnya gradien garis tersebut diperolehdari gradien garis AB.Gradien garis AB =ordinat B - ordinat Aabsis B - absis A =-21-21yyxxAda cara lain untuk menentukan gradiensuatu garis yaitu dengan cara menghitungsatuan.Gradien = datarperbedaanbesarnyatinggiperbedaanbesarnya ,besarnya perbedaan tinggi dipandang negatif bila garis darikiri turun ke kanan.Misal : gradien = mBesarnya perbedaan tinggi = yBesarnya perbedaan datar = xMaka m = xy(-1, 1) (4, 3) ke kanan 5 satuan ke atas 2 satuan XYxxOa.(-1, 5) (4, 2) ke kanan 5 satuan ke bawah 3 satuan XYxxOb. Carilah gradien masing-masing garis berikutApa yang akankamu pelajari?Menentukan gradiendengan menghitungsatuan.Menggambar garis jikagradien dan suatu titikpada garis diketahui.Kata Kunci:GradienGaris3.3Menentukan Gradien denganMenghitung SatuanSoal 1
72 Bab. 3 Persamaan Garis LurusDunia NyataKe kanan 120 satuan Ke bawah 1000 satuan Pesawat Terbang. Grafik di atas memodelkan ketinggiansuatu pesawat dimulai dari saat roda dikeluarkan (waktu 0detik) sampai saat pesawat mendarat.a.Tentukan sebarang dua titik pada grafik!b.Dengan menggunakan titik-titik tersebut carilahgradiennya!c.Bila telah diperoleh gradiennya jelaskan apa arti gradiendalam masalah ini!Menggambar Suatu Garis jika Gradien dan Suatu Titik yangDilaluinya Diketahui.Diketahui sebuah garis lurus melalui titik (1, 2) dangradiennya -23.a.Gambarlah titik (1, 2) pada koordinat Cartesius!b.Bagaimanakah caramu menggambar garis itu?Sumber :http//noefieman.com/wp-contentSoal 2Soal 3
Matematika SMP Kelas VIII 7 3Lengkapilah isian berikut, kemudian carilah gradien tiap-tiap garis Gradien =.................... Gradien =....................Gradien =....................4.Gambarlah suatu garis lurus dengan gradien ½ danmelalui titik (2, -4).Penyelesaiana.Gambar titik (2, -4) pada bidang Cartesiusb.Carilah titik lainnya pada garis denganmenggunakan gradien ½ dari titik (2, -4), naik .........satuan ke atas, kemudian .............. satuan ke kanansehingga diperoleh titik (....,......).c.Tariklah sebuah garis yang melalui kedua titiktersebut!Latihan 3.3Untuk mencari gradien suatu garis bila diketahui grafiknyaadalah•Langkah 1Tentukan sebarang dua titik pada grafik•Langkah 2Ukurlah perbedaan tinggi dan perbedaan datarnya•Langkah 3Tentukan gradien dengan rumus
74 Bab. 3 Persamaan Garis Lurus5.Gambarlah suatu garis lurus dengan gradien –2 danmelalui titik (0, -2).Penyelesaiana.Gambarlah titik (0, -2) pada koordinat kartesius.b.Carilah titik lainnya pada garis denganmenggunakan gradien -2 dari titik (0, -2), turun......... satuan ke bawah, kemudian.............satuan kekanan sehingga diperoleh titik (....,...).c.Tariklah sebuah garis yang melalui kedua titiktersebut.6.Lihatlah diagram di sebelahkanan.a.Berapakah gradien garis q?b.Berapakah gradien garis z?7.Carilah gradien garis yang melalui pasangan titik-titikberikut dengan cara menghitung satuan.a.(8, 0), ( 1, 5)b. (8, 3), (-4, 3)c.(-5, -5), (-9, 1)d. (4, -1), (4, 7)8.Gambarlah suatu garis jika gradien dan suatu titik yangdilaluinya diketahui sebagai berikut.a.(0, 4), gradien ½b. (-2, 1) , gradien –2c.(-5, -2), gradien ¾9.Coba periksa masing-masing pernyataan berikut apakahbenar atau salah? Jelaskan jawabanmu!a.Semua garis mendatar mempunyai gradien yangsama besarnya.b.Gradien garis tegak selalu bernilai negatif.10.Komidi putar.Grafik berikutmemperlihatkan berapa ongkossewa komidi putar pada suatupasar malam.Berapa gradien garis? Bilangangradien garis tersebutmenunjukkan apa?Sumber :www.indosiar.com
Matematika SMP Kelas VIII 7 5Ongkos sewa (dlm ribuan rupiah)Waktu (dalam jam) (6, 900)3212007006009003005004001004 5 6800b.Bila seseorang ingin naikkomidi putar dan ia membayarRp. 2.500,00 berapa jumlahpenumpang lain yangdibutuhkan untuk dapatmenutupi ongkos sewa komidiputar untuk pertun- jukkansetiap jamnya?
76 Bab. 3 Persamaan Garis LurusNegara kita kaya akan tempat-tempat wisatayang indah. Kota Malang, terletak di JawaTimur, kurang lebih 80 km dari ibu kotapropinsi Surabaya. Gambar 3.13Kota Malang terkenal akan hawa yang sejuk, dan buahapelnya. Suhu udara di Kota Malang berkisar antara 280 –300 Celcius. Di Indonesia kita menggunakan satuan derajatCelsius untuk mencatat suhu udara suatu tempat, sedangkandi negara lain seperti Amerika Serikat ukuran suhumenggunakan derajat Fahrenheit. Bila pada bulan Septem-ber suhu Kota Malang 280 Celcius, suhu tersebut setara denganberapa derajat suhu Fahrenheit?Apa yang akan kamup el ajari ?Menentukan persamaan garisjika diketahui gradien dantitik potong terhadap sumbu-Y.Menentukan persamaan garisjika diketahui gradien dankoordinat titik yang dilaluiMenentukan persamaan garisjika diketahui koordinat duatitik yang dilaluiMenentukan syarat dua garissejajar, berpotongan danberimpitMenentukan persamaan garisyang tegak lurus dengan garisl dan melalui titik P(x, y).Kata Kunci:GradienSumber : koleksi pribadi3.4Menentukan Persamaan Garis Lurus
Matematika SMP Kelas VIII 7 7Grafik di sebelah kiri memperlihatkanhubungan antara suhu dalam Celsiusdan suhu dalam Fahrenheit. Titikpotong terhadap sumbu Y adalah 32,yang menunjukkan suhu dimana airmembeku. Pada suhu 200C setaradengan 680Fa.Tentukanlah gradien garis tersebut!b.Bila gradiennya telah didapat dan titik potong garisdengan sumbu Y diketahui, tentukanlah persamaangarisnya!c.Dengan menggunakan persamaan garis yang telah kamuperoleh tadi, carilah berapa derajat suhu Fahrenheitsetara dengan 310 Celsius?1. Menentukan Persamaan Garis jika diketahui gradienm dan suatu titik pada garisMisalkan persamaan garis yang dimaksud adalah y =mx + c dan P1(x1, y1) pada garis tersebut. Untuk x = x1dan y =y1 diperoleh y1 = m x1 + c atau c = y1 – mx1.Kemudian c = y1 – mx1disubstitusikan pada persamaany = mx + c sehingga diperoleh:y = mx + (y1 – mx1)y = m x – mx1 + y1y – y1 = m (x – x1) m = 11xxyy, di mana y –y1selisih ordinat titik P (x, y)dengan titik P1(x1, y1) dan x – x1 selisih absis titikP (x, y) dengan titik P1(x1, y1).Soal 1
78 Bab. 3 Persamaan Garis LurusTulislah persamaan garis yang memiliki gradien –2 danmemotong titik (4, 10)!Untuk menjawab soal tersebut Rini dan Toni menggunakancara berbeda.Cara RiniGunakan rumus y – y1 = m(x – x1)Sehingga diperoleh y – 10 = -2(x – 4) atau y =-2x + 18Cara ToniKita tahu gradien garis adalah –2 (atau m = -2), substitusikanm = -2 pada persamaan y = mx + cTitik (4, 10) pada garis. Substitusikan koordinat titik tersebutpada persamaan untuk mengetahui nilai cy = -2x + c10 = -2(4) + c10 = -8 + c atau c = 18Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah y = -2x + 18.Bandingkan kedua cara tersebut! Apakah mereka memperolehhasil yang sama?Pesawat TerbangSebuah pesawat terbang akan mendarat di bandara. Mulairoda keluar (0 detik) hingga mendarat, pesawat tersebutmembentuk garis lurus dengan kemiringan (gradien) -3. Padasaat 2 detik sesudah roda dikeluarkan, pesawat tersebutberada pada ketinggian 700 m dari atas tanah.Soal 3Contoh 1
Matematika SMP Kelas VIII 7 9a.Tulislah persamaan garis yang menunjukkan hubunganantara waktu dan ketinggian pesawat.b.Buatlah sebuah tabel yang sesuai dengan (a)c.Gambarlah grafiknya!d.Berapakah ketinggian pesawat di atas tanah, pada saat 8detik sesudah roda keluar?e.Pada detik berapa pesawat menyentuh lantai? Bagaimanacaramu menemukan hasil tersebut?f.Pada detik berapa pesawat mempunyai ketinggian 550m di atas tanah?2. Menentukan Persamaan Garis jika diketahui koordinat dua titikpada garisB(3, 6) A(-3, 0) YXOLangkah keduaSesudah kita peroleh gradien garis, pilihlah salah satu titikdiantara dua titik pada garis tadi misalnya titik B(3, 6)kemudian substitusikan pada persamaan:y – y1= m(x-x1) sehingga diperolehy – 6 = 1(x – 3) atau y = x + 3Jadi persamaan garis yang diminta yaitu y = x + 3.Coba kamu pilih titik A(-3, 0), dan cari persamaan garis s!Bandingkan hasilnya. Simpulan apa yang kamu peroleh?Contoh 2Tentukan persamaan garis s, jikadiketahui titik A(-3, 0 ) dan B(3,6) pada garis sJawab:Langkah pertamacarilah gradien garis s denganmenggunakan dua titik yangdiketahui yaitu titik A(-3, 0)dan titik B(3, 6)m =66)3(306xxyy1212 atau 1
80 Bab. 3 Persamaan Garis LurusPerusahaan PenerbitanSuatu perusahaan penerbitan majalahmingguan pada tahun 1998 yaitu tahunpertama operasi penerbitan memperolehkeuntungan bersih 3 miliar rupiah,sedangkan pada tahun 2000memperoleh keuntungan 25 miliarrupiah. Misal kenaikan keuntungan tiaptahunnya tetap (konstan).a.Tulislah persamaan garis yang menunjukkan hubunganantara keuntungan (dalam miliar rupiah) dan waktudalam tahun!b.Tulislah titik-titik yang sesuai dengan persamaan padasoal a) dalam sebuah tabel!c.Gambarlah grafiknya!d.Berapakah keuntungan perusahaan setelah 8 tahunberoperasi?Posisi dua buah garis dalam bidang, ada tigakemungkinan; yaitu saling sejajar, berpotongan danberimpit. Jika kedua garis saling berpotongan, makakamu dapat menentukan koordinat titik potong keduagaris tersebut.Diketahui dua garis k dan m dengan persamaan, y = 3x + 5dan 2y = 7x + 12.a.Gambarlah kedua garis pada koordinat Cartesius!b.Apakah kedua garis saling berpotongan?c.Dengan melihat grafik (a), tentukan koordinat titik potongtersebut!Garis g mempunyai gradien 2 dan melalui titik A(-1, 1) dangaris h mempunyai gradien 3 dan melalui titik (2, 13)a.Tentukan persamaan garis g danpersamaan garis h!b.Gambarlah kedua garis pada koordinat Cartesius!c.Apakah kedua garis saling berpotongan?d.Tentukan koordinat titik potongnya!Soal 3Soal 4Soal 53. Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis
Matematika SMP Kelas VIII 8 14. Menentukan Persamaan Garis yang sejajar dengan garis ldanmelalui titik P(x, y)Diketahui dua buah garis p dan q dengan persamaany = 3x + 2 dan y = 3x -5.a.Gambar kedua garis p dan q pada koordinat Cartesius.b.Bagaimana gradien dari garis p dan q?c.Dengan melihat kedua gambar tersebut, apa yang dapatkamu simpulkan?Apakah kedua garis tersebut sejajar? Jelaskan!Diketahui dua buah garis k dengan persamaan y = 2x + 3 dangaris h yang melalui titik (3, 9) dan sejajar garis k.a.Gambar kedua garis k dan h pada koordinat Cartesius.b.Bagaimana gradien dari garis k dan h?c.Dengan melihat kedua gambar tersebut, apa yang dapatkamu simpulkan? Apakah kedua garis tersebut berimpit?Jelaskan!Dua garis lurus p dan q dikatakan sejajar satu sama lain bilap dan q terletak dalam satu bidang datar, dan tidakberpotongan meskipun diperpanjang. Dua garis p dan qsejajar, maka gradiennya sama.Dua garis p dan q berimpit, mempunyai persamaan garisyang sama dan gradien yang sama pula.Diketahui persamaan garis g sejajar dengan garis y = 2x +3dan melalui titik (4, 3).a.Berapakah gradien garis y = 2x + 3?b.Berapakah gradien garis g?c.Tentukanlah persamaan garis g!Soal 6Soal 7Soal 8
82 Bab. 3 Persamaan Garis Lurus5. Menentukan Persamaan Garis yang Tegak Lurus dengan garis ldan melalui titik P(x, y)Gambarlah dua buah garis g dan h dengan persamaany = 2x + 1 dan 2y = -x + 5 pada koordinat Cartesius!a.Tentukan gradien garis g dan gradien garis h.b.Berapakah hasil kali gradien garis g dan gradien garish?c.Apakah garis g berpotongan dengan garis h? Jikaberpotongan, tentukan koordinat titik potongnya!d.Tentukan sudut yang membentuk kedua garis tersebut!Kesimpulan apa yang kamu peroleh?Dua garis lurus p dan q saling tegak lurus, maka hasil kaligradien garis p dan gradien garis q adalah -1.Tulislah persamaan garis k yang melalui titik (6, -3) dan tegaklurus pada garis y = 4x – 1.a.Berapakah gradien garis y = 4x - 1?b.Apakah gradien garis k sama dengan gradien garisy = 4x - 1? Jelaskan jawabanmu!c.Tentukanlah persamaan garis k! Bagaimana caramemperoleh jawaban tersebut?Soal 9Soal 10
Matematika SMP Kelas VIII 8 31.Jelaskan bagaimana cara menentukan persamaan garisyang memiliki gradien 3 dan ordinat titik potongnyaterhadap sumbu Y adalah –102.Tulislah persamaan garis jika ditentukan gradien dankoordinat titik yang dilalui garis tersebut sebagai berikut.a.Gradien 4 dan melalui titik (1, 5).b.Gradien - 31 dan melalui titik (-2, 4)3.Tentukan persamaan garis h jika diketahui titik (2, -3)dan (-1, -9) pada garis h.4.Uang TabunganDira memiliki uang tabungan di banksebesar 500 ribu rupiah dan memperoleh bunga sebesar4 ribu rupiah setiap bulannya. Tulis pasangan titik yangmemperlihatkan berapa banyak uang (dalam ribuanrupiah) yang dimiliki Dira setelah 2 bulan dan setelah 4bulan jika dia menyimpan seluruh uangnya. Tuliskanpersamaan garis yang menunjukkan hubungan antarabanyak uang yang dimiliki (dalam ribuan rupiah)dengan waktu (dalam bulan)(petunjuk: gambar dahulu titik-titiknya pada bidang koordinatkemudian gunakan gambar tersebut untuk menulis persamaangaris)5.Tentukan persamaan garis g, jika garis g:a. Sejajar dengan garis y = 5x –2 dan melalui titik(4, 0).b. Sejajar dengan sumbu Y dan melalui titik (4, -3).6.Tulislah persamaan garis yang memenuhi keadaana.tegak lurus pada sumbu Y dan melalui titik (-5, 10)b. tegak lurus pada garis y =21 x - 5 dan melalui titik(4, -1)7.Diketahui persamaan garis 6x – 4y =3 Carilah gradiendan titik potong terhadap sumbu-Y dari garis tersebut.Latihan 3.4
84 Bab. 3 Persamaan Garis Lurus8.Segitiga ABC siku-siku di B , ABC letaknya di sebelahkanan. Jika koordinat titik A dan B berturut-turut adalah(4, 6) dan (5, 8) tulislah persamaan garis BC.9.Garis a memiliki gradien -53 dan melalui titik (6, 3). Garisb tegak lurus terhadap garis a. Tuliskan persamaan garisb jika garis a dan b mempunyai ordinat titik potongterhadap sumbu X yang sama.10. Tentukan titik potong antara garis x + 2y = 5 dan y = 3x- 8
Matematika SMP Kelas VIII 8 5RefleksiSetelah mempelajari Bab 3 coba kamu ingat, adakah bagianyang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembali ataudiskusikan dengan temanmu!Buatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu fahami dancatatlah hal-hal yang sulit kamu fahami.Coba kamu jelaskan,a. arti gradien suatu garisb. bagaimana cara menentukan persamaan garis yangdiketahui koordinat dua titik yang dilaluinyac. bagaimana cara menentukan persamaan garis yangdiketahui gradiennya dan koordinat titik yangdilaluinya.d. syarat dua garis yang tegak lurus, sejajar.Pada saat pembelajaran apakah kamu merasakan tidaksenang karena takut, jemu, sulit memahami ataukahmerasakan senang? Sampaikan hal itu kepada Bapak/Ibuguru.Rangkuman1.Jika A(x1, y1) dan B(x2, y2), makaGradien garis AB = AabsisBabsisAordinatBordinat=1212xxyy2.Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1) danbergradien m adalah )(21xxmyy 3.Persamaan garis yang melalui titik ),(11yxP dan ),(22yxQadalah )(112121xxxxyyyy 4.Dua garis yang sejajar gradiennya sama5.Dua garis yang tegak lurus hasil kali gradiennya samadengan - 1.
86 Bab. 3 Persamaan Garis LurusUntuk nomor 1 sampai 5 pilihlah satu jawaban yang benar.1. Jika suatu garis mempunyai persamaan 1242 yx,pernyataan berikut yang benar adalah . . .a. garis itu memotong sumbu-X di (-6, 0)b. garis itu memotong sumbu-X di (0, -3)c. garis itu memotong sumbu-Y di (6, 0)d. garis itu memotong sumbu-Y di (0, -3)2. Gradien garis dengan persamaan 3593 yx adalah. . .a. -3b.35c.53d. 53. Gradien garis yang melalui titik (2, -5) dan (4, 6) adalah .. .a. 215b. 112c. 112d. 2114. Garis yang melalui titik A(-1, 4) dan B(2, 5) sejajardengan garis . .a.083 yxb.053 xyc.332 xyd.024 yx5. Pasangan garis berikut yang tegak lurus adalah . . . a. 723 yx dan 432 yx b. 754 xy dan 0254 yx c. 93 xy dan 53 xy d. 32 xy dan 1221 xyUntuk soal nomor 6 sampai 10 kerjakan disertai denganlangkah-langkahnya.6. Gambarlah garis dengan persamaan berikut.a.62 xyb.93 yx; x + y = 8 (gambar pada satu sumbu koordinat)Evaluasi Bab 3
Matematika SMP Kelas VIII 8 77. Tentukan persamaan garis yang gradien dan titik yangdilaluinya diketahui berikut ini.a. (4, 5); gradien -2b. (-3, 6); gradien 21c. (-3, 8); gradien 38. Tentukan persamaan garis yang melaluia. (3, 5) dan (-2, 5)b. (-1, 3) dan (3, 4)c. (4, -2) dan (5, -1)9. Segitiga ABC siku-siku di A(2, 3). Jika titik C(-2, 4),tentukan persamaan garis yang melalui titik A dan titikB.10. a. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(-2, 5) dansejajar dengan garis 743 yxb. Tentukan persamaan garis yang melalui titik K(4, -3) dantegak lurus dengan garis 5x - 6y + 2 = 0
88 Bab. 3 Persamaan Garis Lurus